尤拉公式推導三角函數和差公式

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尤拉公式推導三角函數和差公式

棣美弗公式 $cos\theta+i \,sin\theta = (cos\large\frac{\theta}{n}+i \,sin\frac{\theta}{n})^n$

當 n 趨近於無窮大 $cos\large\frac{\theta}{n}$ 趨近於1 $sin\large\frac{\theta}{n}$ 趨近於 $\large\frac{\theta}{n}$ 。

$cos\theta+i \,sin\theta =\lim\limits_{n\to\infty}(cos\large\frac{\theta}{n}+i \,sin\frac{\theta}{n})^n=$ $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\large\frac{i\theta}{n})^n=e^{i\theta}$

得尤拉公式 $e^{i\theta}=cos\theta+i \,sin\theta$

$cos(\alpha + \beta)+i \,sin(\alpha + \beta)=e^{i (\alpha + \beta)}$ =

$e^{i \alpha} e^{i \beta} =(cos\alpha+i\,sin\alpha)(cos\beta+i\,sin\beta)=cos\alpha\, cos\beta+ i\,cos\alpha \,sin\beta+i\,sin\alpha \,cos\beta + (i\,sin\alpha)( i\,sin\beta)=$

$(cos\alpha \, cos\beta - sin\alpha \,sin\beta)+i(cos\alpha\, sin\beta+sin\alpha \,cos\beta )$

因此

$cos(\alpha + \beta)=cos\alpha \, cos\beta - sin\alpha\, sin\beta$

$sin(\alpha + \beta)=sin\alpha\, cos\beta+cos\alpha \,sin\beta$

$cos(\alpha - \beta)+i \,sin(\alpha - \beta)=e^{i (\alpha - \beta)}$ =

$e^{i \alpha} e^{i (-\beta)} =(cos\alpha+i\,sin\alpha)(cos(-\beta)+i\,sin(-\beta))=(cos\alpha+i\,sin\alpha)(cos\beta-i\,sin\beta)=$

$cos\alpha\, cos\beta- i\,cos\alpha \,sin\beta+i\,sin\alpha \,cos\beta - (i\,sin\alpha)( i\,sin\beta)=$

$(cos\alpha\, cos\beta + sin\alpha \, sin\beta)+i(-cos\alpha\, sin\beta+sin\alpha\, cos\beta )$

因此

$cos(\alpha - \beta)=cos\alpha \, cos\beta + sin\alpha\, sin\beta$

$sin(\alpha - \beta)=sin\alpha \, cos\beta-cos\alpha\, sin\beta$