可以尺規作圖三等分的最小整數角度

1837年法國數學家 Pierre Wantzel (1814–1848) 利用迦羅瓦的理論證明尺規作圖三等分任意角是不可能的

尺規作圖要求在有限的步驟內完成作圖,如果沒有這個限制,則經過無窮次數的四等分已知角,理論上可趨近於三等分角。

因為$\dfrac{1}{4}$+$(\dfrac{1}{4})^2$+$(\dfrac{1}{4})^3$+....=$\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}$=$\dfrac{1}{3}$。

 

雖然尺規作圖三等分任意角是不可能的,但是有一些角是可以尺規作圖三等分,那麼可以尺規作圖三等分的最小整數角度是多少?

可以尺規作圖正五邊形

  1. 畫一圓 C。

  2. 作直徑AB

  3. BC的中點D。

  4. 過C點作AB的垂直線交圓C於P點。

  5. 以D點為圓心,DP為半徑畫弧交AB於E點。

  6. 以P點為圓心,PE為半徑畫弧交圓於一點。再連續取四個等弧,連接交點,就可以作出正五邊形。

 

正五邊形的邊和對角線夾36度,可以尺規作圖30度角,得6度角,再尺規作圖平分角得3度角。

而3度角的3倍是9度角,因此尺規作圖三等分的最小整數角度是9度,也就是說「角度是9的倍數,這樣的角可以尺規作圖三等分」。

 


Copyright © 昌爸工作坊 all rights reserved.