和化積

三角函數的差化積公式

sin α-sin β=2 $sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
cos α-cos β=-2 $sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ $sin\frac{\alpha+\beta}{2}$

半圓半徑OA=1，∠AOE=α，∠BOE=β，OM垂直平分AB，AC⊥OE，MD⊥OE，BE⊥OE。
AC=sinα，OC=cos α；BE=sin β，OE=cos β。

OM平分∠AOB，∠MOB=$\frac{\alpha-\beta}{2}$。∠MAC==∠MOE=$\frac{\alpha-\beta}{2}$+β=$\frac{\alpha+\beta}{2}$。
BF⊥AC交MD於N點；AF=AC-FC=AC-BE=sin α-sin β。
MN=$\large\frac{\over{AF}}{2}$=$\frac{sin\ \alpha-sin\ \beta}{2}$。

MB= MA=$sin\frac{\ \alpha-\ \beta}{2}$ 。∠BMN=$\frac{\alpha+\beta}{2}$。MN=$sin\frac{\ \alpha-\ \beta}{2}$ × $cos\frac{\ \alpha+\ \beta}{2}$ 。

所以$\frac{sin\ \alpha-sin\ \beta}{2}$=$sin\frac{\ \alpha-\ \beta}{2}$ × $cos\frac{\ \alpha+\ \beta}{2}$，得

sin α-sin β==2 $sin\frac{\ \alpha-\ \beta}{2}$ $cos\frac{\ \alpha+\ \beta}{2}$。 ... (1)

NB=$sin\frac{\ \alpha -\ \beta}{2}$ × $sin\frac{\ \alpha + \ \beta}{2}$=DE

因為D是CE的中點，DE=$\frac{\overline{OE}-\overline{OC}}{2}$=$\frac{cos\ \beta-cos\ \alpha}{2}$。

所以$\frac{cos\ \beta-cos\ \alpha}{2}$=$sin\frac{\ \alpha -\ \beta}{2}$ × $sin\frac{\ \alpha + \ \beta}{2}$，得

cos β-cos α=2$sin\frac{\ \alpha -\ \beta}{2}$ $sin\frac{\ \alpha + \ \beta}{2}$;

cos α-cos β= -2$sin\frac{\ \alpha -\ \beta}{2}$ $sin\frac{\ \alpha + \ \beta}{2}$。 ... (2)

由以上圖解可知

sin α-sin β=2 $sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ $cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
cos α-cos β=-2 $sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ $sin\frac{\alpha+\beta}{2}$