猴子分食桃子

海盜分金幣

「三個海盜有一箱的金幣，卻沒人知道金幣有幾個。三人約定隔天起床後大家一起平分。但是半夜有一個海盜偷偷把金子平分成三份，卻還多餘一個金幣，他就拿走這一個金幣和其中的一份，並將其他金幣全部放箱子，隨即回去繼續睡覺。
第二個海盜隨後醒來，也偷偷將金幣平分成三份，也多餘一個金幣，他拿走這個金幣和其中的一份，將其他金幣全部放箱子後就回去繼續睡覺。
第三個海盜最後醒來，也偷偷把金幣平分五份，竟然也多餘一個金幣，他拿走這個金幣和其中的一份，也將其他金幣全部放箱子後回去睡覺。
隔天一早，三個海盜一起平分金幣，完成後還剩下一個金幣，則原先箱子內的金幣最少有幾個 ?」

假設箱子裡原來有x個金幣，
第一個海盜拿走一個金幣和其中的一份，剩下金幣$\large\frac{2}{3}$(x-1)個。
第二個海盜拿走一個金幣和其中的一份，剩下金幣$\large\frac{2}{3}$($\large\frac{2}{3}$(x-1)-1)個。
第三個海盜拿走一個金幣和其中的一份，剩下金幣$\large\frac{2}{3}$($\large\frac{2}{3}$$(\large\frac{2}{3}$(x-1)-1)-1)個。
隔天一早，每一個海盜平分得金幣$\large\frac{1}{3}$($\large\frac{2}{3}$($\large\frac{2}{3}$$(\large\frac{2}{3}$(x-1)-1)-1)-1)個。

化簡$\large\frac{1}{3}$($\large\frac{2}{3}$($\large\frac{2}{3}$$(\large\frac{2}{3}$(x-1)-1)-1)-1)得$\large\frac{8x-65}{81}$。

因為$\large\frac{8x-65}{81}$是自然數，可令85x-85=81k，k是自然數，因此x=(10k+8)+$\large\frac{k+1}{8}$。
k= 7、15、23、31、....
x =79、160、241、322、....
所以原先在箱子內的金幣最少有79個。

也可以這樣想︰
因為4次平分金幣都會多餘1個金幣，所以只要先在箱子裡添增2個金幣，則4次都可以平分而且不剩。
假設原來箱子有x個金幣，添增2個金幣後，箱子有x+2個金幣。
第一個海盜完整平分金幣成3份，每份a個金幣。拿走a個金幣後，剩2a個金幣。
第二個海盜完整平分金幣成3份，每份b個金幣，則3b=2a。拿走b個金幣後，剩2b個金幣。
第三個海盜完整平分金幣成3份，每份c個金幣，則3c=2b。拿走c個金幣後，剩2c個。
最後，3個海盜每一人平分得d個金幣，而且沒多餘金幣，所以3d=2c。
因此，x+2=3a=3($\large\frac{3}{2}$)b=3($\large\frac{3}{2}$)($\large\frac{3}{2}$)c=3($\large\frac{3}{2}$)($\large\frac{3}{2}$)($\large\frac{3}{2}$)d=$\large\frac{3^4}{2^3}$d。
當d=2³=8時，x+2有最小值3⁴=81，所以原來箱子的金幣最少有81-2=79(個)。