被0取代的數字

用1~9這9個整數組成三個相異的三位數，有一個三位數的某一位數字被0取代，得一個新數，並將新數和另外二個三位數相加得S值。

將S值的各位數字加總得T，如果T是9的倍數，則被0所取代的數字是9。

如果T不是9的倍數，則先找到比T大而且是9的倍數的最小整數M，則(M-T)值就是被0所取代的數字。[註]

例如︰
319，785，642三個相異的三位數，以0取代319的十位數字1，319→309。
計算309+785+642=1736，T=1+7+3+6=17，比17大且是9的倍數的最小整數是18。M=18且T=17，M-T=1，
因此得知被0所取代的數字是1。(為什麼?)

性質1︰「用1~9這9個整數組成三個相異的三位數，這三個三位數相加和一定是9的倍數。」

如果 a₁、 a₂、 a₃、 a₄、 a₅、 a₆、 a₇、 a₈、a₉ 各代表1~9當中一個整數。
假設三個三位數分別是S1=(100a₁+10a₂+a₃)、S2=(100a₄+10a₅+a₆)、S3=(100a₇+10a₈+a₉)，則S1+S2+S3=100(a₁+a₄+a₇)+10(a₂+a₅+a₈)+(a₃+a₆+a₉)=
99(a₁+a₄+a₇)+9(a₂+a₅+a₈)+(a₁+a₄+a₇+a₂+a₅+a₈+a₃+a₆+a₉)=
99(a₁+a₄+a₇)+9(a₂+a₅+a₈)+45=
9[11(a₁+a₄+a₇)+(a₂+a₅+a₈)+5]，所以S1+S2+S3是9的倍數。

性質2︰「如果正整數N是9的倍數，則N的每一位數字相加和一定是9的倍數。」

如果n位數N=a_n_-1×10^n-1+a_n-2×10^n-2+.......+a₁×10+a₀，0 ≦ a_n-1、a_n-2、.......、a₁_、a₀≦ 9，則

N=a_n_-1×(10^n-1-1)+a_n-2×(10^n-2-1)+.......+99×a₂++9×a₁+(a_n-1+a_n-2+........+a₂+a₁+a₀)=
9K+(a_n-1+a_n-2+........+a₂+a₁+a₀)。

如果N是9的倍數，則a_n-1+a_n-2+........+a₂+a₁+a₀是9的倍數。

註︰被0取代數字 (ggb檔)