剪裁拼貼正方形

「任意n個正方形,經過剪刀裁剪後,再緊密拼貼,是否可以成為一個正方形呢?」

根據畢氏定理,直角三角形兩股長a和b,斜邊長c,則a2+b2=c2。如果有一個正方形的的邊長是a,另一個正方形的邊長是b,根據畢氏定理是計算出面積a2+b2的正方形的邊長,可是需要經過「剪刀裁剪」正方形,再經過拼貼,要怎麼辦呢?

假設有兩個正方形,邊長分別是 a 和 b,a ≧ b,並在邊長是 a的正方形ABCD(圖一)的四個邊上各取得截點 E、F、G、H,使得AFBGCHDE。如此可得四個全等直角三角形,即AFE、BGF、CHG、DEH。並得知四邊形EFGH是正方形,而且EGFH等長,EGFH互相垂直平分。拿剪刀沿著EGFH剪裁,正方形ABCD會變成四個全等的四邊形,都擁有一組對角是直角。將四個全等的四邊形拼貼成圖二,如果中央的空隙區域是邊長是 b的正方形,則成功完工。

因為△AFE △BGF △CHG △DEH,且都是直角三角形,顯然圖二的空隙區域是正方形,其邊長是AEBG(圖一)。我們希望圖二的A(E)BG=b,因為b=A(E)BGAEED(圖一)...(1),且AE+EDAD=a...(2),由(1)和(2)得知
綜合上述,兩個正方形,邊長分別是 a 和 b,並在邊長是 a 的正方形ABCD(圖一)的四個邊上各取得截點 E、F、G、H,使得AFBGCHDE,拿剪刀沿著EGFH剪裁,並拼貼成圖二,最後將邊長是 b的正方形緊密貼入空隙區域,就可得邊長為(圖一的EG長)的正方形。

因為任意兩個正方形經過剪刀裁剪後,再緊密拼貼,可以成為一個正方形。根據數學歸納法可以推論得知
「任意n個正方形,經過剪刀裁剪後,再緊密拼貼,可以成為一個正方形。」


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