過圓上一點的切線方程式

「已知圓心(h，k)，圓上一點A(a，b)，則過A點的切線方程式是 (a-h)(x-h)+(b-k)(y-k)=(a-h)²+(b-k)²。」

令圓的半徑 r，則 r²=(a-h)²+(b-k)²。圓的方程式是 (x-h)²+(y-k)²=r²。

說明1，利用斜率

過(h，k)和(a，b)兩點的直線斜率是$\frac{b-k}{a-h}$。過A點的切線斜率和$\frac{b-k}{a-h}$的乘積是-1，所以過A點的切線斜率是$\frac{h-a}{b-k}$。

因此過A點的切線的方程式是 y-b=$\frac{h-a}{b-k}$(x-a)，

$(y-b)(b-k)=(x-a)(h-a)$，
$(y-b-k+k)(b-k)=(x-a-h+h)(h-a)$，
$[(y-k)+(k-b)](b-k)=[(x-h)-(a-h)][-(a-h)]$，
$(y-k)(b-k)-(b-k)^2=-(x-h)(a-h)+(a-h)^2$，
$(a-h)(x-h)+(b-k)(y-k)=(a-h)^2+(b-k)^2= r^2$。

說明2，利用向量內積

$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{AB}$

$(a-h,b-k)\cdot(x-a,y-b)$=0

$(a-h)(x-a)+(b-k)(y-b)$=0

循說明1的運算式得 $(a-h)(x-h)+(b-k)(y-k)=(a-h)^2+(b-k)^2= r^2$。

例如，已知圓心(3，4)，圓上一點A(7，9)，則過A點的切線方程式是(7-3)(x-3)+(9-4)(y-4)=(7-3)²+(9-4)²，即 4x+5y=73。

或是用內積是0求切線方程式會比較快，(7-3,9-4)‧(x-7,y-9)=0，4x-28+5y-45=0，4x+5y=73。