物不知其數

《孫子算經》卷下第26題"物不知其數"問題在第三世紀馳名中外，義大利數學家斐波拉契(Fibonacci)就在著作《算盤》(西元1220年)引用此名題。第十九世紀，英國傳教士Wylie將問題的解法傳到歐洲。之前，德國數學家高斯(Guass)對此也作了有系統的深入廣泛研究且使之成為"整數論"裡重要的理論。西元1874年德國科學史學家L.Matthiessen有鑒於中國早對這個問題提出解法，所以將它命名為「中國剩餘定理」。

《孫子算經》︰「今有物，不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二。問物幾何？

答曰：二十三」，

現在的譯文是︰「眼前有一堆物品，不知有多少個？每次取3個，最後剩下2個；每次取5個，最後剩下3個；每次取7個，最後剩下2個。問這堆物品到底有多少個？」

《孫子算經》的解法，

「術曰：三三數之，賸二，置一百四十；五五數之，賸三，置六十三；七七數之，賸二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之，賸一，則置七十五；五五數之，賸一，則置二十一；七七數之，賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。」

可惜《孫子算經》沒有說明為何如此做的原因。高斯(Guass)利用數論同餘來處理它。

假設物品有N件，依照題目文意，可以列出一個聯立方程組如下：

$\begin{cases}
N=3a+2 ...(1)\\
N=5b+3 ...(2)\\
N=7c+2
\end{cases}$.

其中N、a、b、c都是自然數。

(2)-(1)，(2)-(3)得下列聯立方程式

$\begin{cases}
5b-3a=-1...(3)\\
5b-7c=-1...(4)\\
\end{cases}$.

(3)-(4)得 -3a+7c=0，a=$\large\frac{7c}{3}$=2c+$\large\frac{c}{3}$。

因為a是自然數，所以令c=3s，s是自然數。

c=3s代入(2)得5b=21s-1，b=$\large\frac{21s-1}{5}$=4s+$\large\frac{s-1}{5}$。

因為b是自然數，所以令s=5t+1，t是非負整數，因此b=21t+4。

b=21t+4代入(2) 得N=5(21t+4)+3=105t+23，因此N的可能值是23、128、233、...。

「問物幾何？」可能值是23、128、233、...。

延伸閱讀︰談韓信點兵問題 (蔡聰明/台大數學系）/ 韓信點兵 (莫宗堅/普渡大學數學系）
　