互質性質的應用

「已知兩個自然數a和b，a>b。如果a和b互質，則(a+b，ab)=1且(a-b，ab)=1。」

假設(a+b,ab)=d，則 d︱a+b 且 d︱ab。

 d︱a(a+b)-ab，即  d︱aa。

d︱b(a+b)-ab，即  d︱bb。

因此 d︱(aa，bb) 。

已知 (a，b)=1，所以 (aa，bb)=1，即  d︱1，d=1，(a+b，ab)=1。同理可證 (a-b，ab)=1。

應用題: 「a+b=1404，[a,b]=12600，試求a=?b=?」

假設 (a,b) = d，則 a = dh， b=dk，其中(h，k)=1

a+b=d(h+k)=1404

[a,b]=dhk=12600

因為(h+k，hk)=1，所以 d=(1404，12600)=36

因此 a=36h，b=36k

a+b=36(h+k)=1404，h+k=39….(1)

[a,b]=36hk=12600,hk=350….(2)

由(1)(2)知h和k是 x²-39x+350=0的正整數解且兩解互質

(x-14)(x-25)=0，正整數解有14和25

因此 a=36×14=504，b=36×25=900或 a=900，b=504。

應用題: 「a+b=40，(a，b)+[a，b]=56，試求 a=?b=?」

假設 (a,b)=d，則a=dh，b=dk，其中 (h，k)=1

因為  a+b=d(h+k)=40

(a，b)+[a，b]=d+dhk=d(1+hk)=56且(hk，1+hk)=1

所以 d=(40，56)=8

因此 h+k=5且 hk=6

h和k是 x²-5x+6=0的正整數解且兩解互質

(x-2)(x-3)=0，h=2，k=3或h=3，k=2

因此 a=16，b=24或 a=24，b=16

Copyright ©昌爸工作坊 (數學網站)all rights reserved.