四個連續正整數的乘積1

 1234+1=25=52 ,2345+1=121=112 ,3456+1=361=192 。觀察左列三式,發現等式左邊的算式是4個連續正整數相乘再加1,計算結果是平方數。是不是可以推廣到任意四個連續正整數相乘再加1,結果也都是平方數呢﹖

     如果第一個正整數是x,則連續四個正整數就是 x、x+1、x+2、x+3,現在我們試著因式分解 x(x+1)(x+2)(x+3)+1,

x(x+1)(x+2)(x+3)+1=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1=

[x2+3x][(x2+3x)+2]+1=(x2+3x)2+2(x2+3x)+1=

(x2+3x+1)2  ,

所以連續四個正整數乘積+1 的結果是平方數。


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