數列的收斂與發散

Processing math: 100%

無窮級數的收斂與發散

數不完的一群人相約到一間咖啡館聚會，他們陸續進入咖啡館並點咖啡喝，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了 $\large\frac{1}{4}$ 杯咖啡，第四位點了 $\large\frac{1}{8}$ 杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是上一位的一半。隔了一段時間後，這群人又到同一間咖啡館聚會，但是服務生索性倒滿兩杯咖啡，讓他們自己分配使用，為什麼?

1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{4}$ + $\large\frac{1}{8}$ +....是公比 $\large\frac{1}{2}$ 的無窮等比級數，假設級數和是S，即
S=1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{4}$ + $\large\frac{1}{8}$ +....，則
2S=2+1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{4}$ +.....=2+S，因此2S-S=2，得S=2。
無窮等比級數1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{4}$ + $\large\frac{1}{8}$ +...有極限值2有一次這群人改變了點咖啡量的方式，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了 $\large\frac{1}{3}$ 杯咖啡，第四位點了 $\large\frac{1}{4}$ 杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是他的序號的倒數。但是這次咖啡館沒有足夠的咖啡，為什麼?

1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{3}$ + $\large\frac{1}{4}$ + $\large\frac{1}{5}$ + $\large\frac{1}{6}$ + $\large\frac{1}{7}$ + $\large\frac{1}{8}$ + $\large\frac{1}{9}$ + $\large\frac{1}{10}$ + $\large\frac{1}{11}$ + $\large\frac{1}{12}$ + $\large\frac{1}{13}$ + $\large\frac{1}{14}$ + $\large\frac{1}{15}$ + $\large\frac{1}{16}$ +....

=1+ $\large\frac{1}{2}$ +( $\large\frac{1}{3}$ + $\large\frac{1}{4}$ )+( $\large\frac{1}{5}$ + $\large\frac{1}{6}$ + $\large\frac{1}{7}$ + $\large\frac{1}{8}$ )+( $\large\frac{1}{9}$ + $\large\frac{1}{10}$ + $\large\frac{1}{11}$ + $\large\frac{1}{12}$ + $\large\frac{1}{13}$ + $\large\frac{1}{14}$ + $\large\frac{1}{15}$ + $\large\frac{1}{16}$ )+....

> 1+ $\large\frac{1}{2}$ +( $\large\frac{1}{4}$ + $\large\frac{1}{4}$ )+( $\large\frac{1}{8}$ + $\large\frac{1}{8}$ + $\large\frac{1}{8}$ + $\large\frac{1}{8}$ )+( $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ + $\large\frac{1}{16}$ )....=1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{2}$ +.....=∞

1+ $\large\frac{1}{2}$ + $\large\frac{1}{3}$ + $\large\frac{1}{4}$ + $\large\frac{1}{5}$ + $\large\frac{1}{6}$ + $\large\frac{1}{7}$ +....這個級數是連續正整數的倒數和，稱作「調和級數」，它沒有極限值，所以它是發散級數。