數列的收斂與發散

無窮級數的收斂與發散

數不完的一群人相約到一間咖啡館聚會，他們陸續進入咖啡館並點咖啡喝，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了$\large\frac{1}{4}$杯咖啡，第四位點了$\large\frac{1}{8}$杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是上一位的一半。隔了一段時間後，這群人又到同一間咖啡館聚會，但是服務生索性倒滿兩杯咖啡，讓他們自己分配使用，為什麼?

1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{8}$+....是公比$\large\frac{1}{2}$的無窮等比級數，假設級數和是S，即
S=1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{8}$+....，則
2S=2+1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{4}$+.....=2+S，因此2S-S=2，得S=2。
無窮等比級數1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{8}$+...有極限值2，所以它是收斂級數。

有一次這群人改變了點咖啡量的方式，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了$\large\frac{1}{3}$杯咖啡，第四位點了$\large\frac{1}{4}$杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是他的序號的倒數。但是這次咖啡館沒有足夠的咖啡，為什麼?

1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{3}$+$\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{5}$+$\large\frac{1}{6}$+$\large\frac{1}{7}$+$\large\frac{1}{8}$+$\large\frac{1}{9}$+$\large\frac{1}{10}$+$\large\frac{1}{11}$+$\large\frac{1}{12}$+$\large\frac{1}{13}$+$\large\frac{1}{14}$+$\large\frac{1}{15}$+$\large\frac{1}{16}$+....

=1+$\large\frac{1}{2}$+($\large\frac{1}{3}$+$\large\frac{1}{4}$)+($\large\frac{1}{5}$+$\large\frac{1}{6}$+$\large\frac{1}{7}$+$\large\frac{1}{8}$)+($\large\frac{1}{9}$+$\large\frac{1}{10}$+$\large\frac{1}{11}$+$\large\frac{1}{12}$+$\large\frac{1}{13}$+$\large\frac{1}{14}$+$\large\frac{1}{15}$+$\large\frac{1}{16}$)+....

> 1+$\large\frac{1}{2}$+($\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{4}$)+($\large\frac{1}{8}$+$\large\frac{1}{8}$+$\large\frac{1}{8}$+$\large\frac{1}{8}$)+($\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$+$\large\frac{1}{16}$)....=1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{2}$+.....=∞

1+$\large\frac{1}{2}$+$\large\frac{1}{3}$+$\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{5}$+$\large\frac{1}{6}$+$\large\frac{1}{7}$+....這個級數是連續正整數的倒數和，稱作「調和級數」，它沒有極限值，所以它是發散級數。