積和的巧合

媽媽：「一顆糖果售價 1 元，一塊餅乾售價 2 元，小鳳買了 5 顆糖果和 3 塊餅乾，他需付多少元？」
阿敏：「11元。」
媽媽：「阿敏，可以列出你的算式嗎？」
阿敏：「1＋2＋5＋3＝11。」
媽媽!!!：「答案是11沒錯，可是你的算式是不對的哦！」，「應該是 1×5＋2×3＝11。」

阿敏的錯誤算式竟能得到問題所求的正確答案，條件裡的數字巧合，只是唯一的嗎？

「一顆糖果售價 a 元，一塊餅乾售價 b 元，小鳳買了 c 顆糖果和 d 塊餅乾，他需付多少元？」

(a，b，c，d)=(1，2，5，3)是a+b+c+d=ac+bd的唯一正整數解嗎？

討論：「如果 a、b、c、d都是相異的正整數，試求同時滿足ac＝b+d 和 bd＝a+c 的正整數解 (a，b，c，d) ？」

設定a、b、c、d 四個數當中， a是最小的數，這個設定不會影響討論的一般性。

假設 a ≧ 2 ，則 ac ≧ 2c＝ c ＋ c＞a+ c = bd

如果 b ≧ d >2，則 bd>2d 且db > 2b ，因此 2bd > 2(d+b)，得 bd > d+b。

如果 d ≧ b >2，則 db >2b且 db > 2d ，因此 2bd > 2(b+d)，得 bd > b+d。

由上述可知 ac ＞bd > b+d，這結果不符合已知條件ac＝b+d，所以「假設 a ≧ 2」是錯誤的，因此 a<2。
因為a是正整數且a <2，所以 a=1 。

已知ac＝b+d ，bd＝a+c，且 a=1，所以c=b+d且bd=1+c。

因為bd=1+b+d，所以 bd-b-d-1=0，即 b(d-1)-(d-1)=2，因此 (b-1)(d-1)=2。

因為 b>a=1 且 d>a=1，當b=2時，d=3；當b=3時，d=2。

因此 (a，b，c，d) = (1，2，5，3) 或 (1，3，5，2) 。