蒙提霍爾問題-換還是不換

1963年蒙提‧霍爾(Monty Hall)主持其參與創作遊戲節目《來做個交易》（Let's Make a Deal）走紅，主持將近4000集。其中一集他邀請參加猜謎的觀眾從三個門當中挑選一扇門，但是在確認前先不開門，當中只有一扇門後有一輛車，其他的二扇門後都是一隻羊。

霍爾知道哪兩扇門後是羊，不論觀眾選擇哪一扇門(暫不開門)，霍爾總能打開門後是羊的那扇門，並追問猜謎的觀眾換門或不換門。那麼，換門後獲得車子的機率大，還是不換門獲得車子的機率大?

如果不換門就獲得車子，則表示「他一開始就選中門後有車子的那扇門」，這個機率是 $\large\frac{1}{3}$。
如果換扇門可獲得車子，則表示「他一開始選中的那扇門後是羊」，而這個機率是 $\large\frac{2}{3}$。
所以選擇換扇門獲得車子的機率比較大。

數學家艾狄胥(Paul Erdos)在這個問題上曾栽過觔斗，法桑尼(Andrew Vazsonyi)有一次和艾狄胥一同造訪加州聖羅沙，法桑尼就拿蒙提霍爾問題來試試艾狄胥對於機率的直覺。結果令法桑尼驚訝，因為艾狄胥始終堅持換門與不換門獲得車子的機率都是$\large\frac{1}{2}$，甚至對法桑尼的解釋甚感不解。直到貝爾實驗室的數學家葛拉漢(Ron Graham)提出了一個令艾狄胥滿意的解釋，他才釋懷。這個軼事紀錄在兩本關於Paul Erdos的傳記裡，這兩本傳記分別是保羅.霍夫曼(Paul Hoffman)的《The Man Who Loved Only Numbers》及布魯斯.柴契特(Bruce Schechter)的《不只一點瘋狂(My Brain is Open)》第147頁，當時已經是數學機率權威的艾狄胥也會被機率所戲弄。
　