圖解柯西不等式

 

圖一和圖二是全等的長方形,圖一黃色區域的面積是ac+bd,圖二黃色區域的面積=)ac×2+)bd×2=ac+bd。

因為圖一和圖二的黃色區域面積大小相等,所以圖一和圖二的紅色區域面積大小也應該是相等的

因為圖一紅色區域面積是ad+bc,因此圖二的紅色區域(平行四邊形)面積 = ad+bc=× h。......(1)

(一)、如果圖二紅色區域不是長方形,

因為直角三角形的斜邊長大於股長,所以 > h。......(2)

綜合(1)(2)可知× > × h = ad+bc,因此× > ad + bc,即 (a2+c2)(d2+b2) > (ad+bc)2


(二)、如果圖二紅色區域是長方形,則 h=
,由(1)可知 ad+bc =×,即 (ad+bc)2 = (a2+c2)(d2+b2)。


如圖三,如果 ad = cb,則紅色區域一定是長方形,理由如下:

因為直角△CDA和直角△BEC,ad = cbCD : BE = DA : EC ,又∠D =∠E = 90∘,所以 △CDA和直角△BEC相似 (SAS相似),因此 ∠1=∠2。因為∠1+∠3 = 90∘,所以∠2+∠3 = 90,可知∠BCA是直角,因此圖三的紅色區域(平行四邊形)是長方形。

由上述可知如果 ad = cb,則  (a2+c2)(d2+b2) = (ad+bc)2



可以推廣得知,「若 a、b、c、d是任意數,則(a2+c2)(d2+b2) ≧ (ad+bc)2  ,當 ad = cb 時,等號成立。」

 

 

延伸閱讀: 柯西不等式


Copyright ©昌爸工作坊 all rights reserved.