洗牌

「一副撲克牌要洗牌幾次，才可以洗乾淨?」
一副52張紙牌有52!種排法，大約是10⁶⁸種，這個數遠比古印度國王答應獎賞西洋棋發明者--希薩的麥子還多得多。希薩要求印度國王賞他麥子，只要在棋盤的第一小格內放置一粒，第二小格子內放兩粒，第三小格子內放四粒……，依此類推，每一小格內的麥子數都是前一格的2倍，麥子的數目是2⁶⁴-1 =18446744073709551615，就算整個印度倉庫裡的所有麥子全部賞給希薩還是不夠，甚至全球所有麥子的收獲，也不夠給賞的。

一副撲克牌要洗幾次，才可以洗乾淨呢? 美國哈佛大學數學家岱科尼斯和哥倫比亞大學數學家貝爾，為了解開這問題，曾長期觀察人們玩牌的洗牌方式，最後他們發現一種有效洗牌方式--彈洗--將牌分成兩半、交互切入的洗牌法。他們把52張牌編上號碼，並由1到52遞增排列。洗牌時，將牌分成兩疊，有一疊牌是1到26，另外一疊則由27到52。彈洗一次牌後，會出現這樣的排列：1，27，2，28，3，29……，也就是兩組遞增的數列混在一起，一組是1，2，3....，26.；另一組是27，28，29.......，52。第二次彈洗牌後，會出現這樣的排列：1，14，27，40，2，15，28，41，3，16，29，42，也就是四組遞增的數列混在一起，一組是1，2，3....，13；一組是14，15，16....，26；一組是27，28，29....，39；一組是40，41，42....，52。如果繼續彈洗到第七次，遞增數列可達26組，這副牌幾乎就看不出原來的順序了，也就是說一副撲克牌彈洗7次就洗乾淨了。

後來，英國牛津大學的數值分析教授Lloyd N.Trefethen和父親Tufts University大學的機械工程教授Lloyd M.Trefethen一同分析研究了許多副牌，根據他們的研究報告，一副按順序排列、還沒洗過的牌中，總共包含了225.58bits的資訊，這些資訊將會在洗牌過程中逐漸被洗淨掉。Trefethen父子利用電腦程式來彈洗這些牌，發現到第一次彈洗後，牌裏剩173.58 bits的資訊；第二次彈洗後剩121.58bits的資訊，不過要讓牌混亂化，其實只要彈洗五或六次就夠了。彈洗六次後，這副牌就洗掉99%的資訊了。

彈洗數	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
bits	225.58	173.58	121.58	69.874	27.271	7.9452	2.0727	0.5239	0.1313	0.0329
洗淨度	0%	23.1%	46.1%	69.0%	87.9%	96.5%	99.1%	99.8%	99.9%	99.99%

上表資料來源：How many shuffles to randomize a deck of cards? (pdf)---Lloyd N.Trefethen