堆疊積木求級數平方和

使用全等積木一層一層堆疊成金字塔狀，其中每一層都是正方形，積木個數是平方數。

由頂層往底層計算積木，第一層1塊，第二層4塊，第三層9塊，積木總共有 1²+2²+3² (塊) ...(1)。

解析三層如下，

如個數有1×3(層)=3(塊)，

如個數有3×2(層)=6(塊)，

如個數有5×1(層)=5(塊)。

三層積木總數=1×3+3×2+5×1 ....(2)，
由(1)(2)得知 1²+2²+3²=1×3+3×2+5×1。

推廣之得

1²+2²+3²+4²+...........+(n-1)²+n²=

1×n+3×(n-1)+5×(n-2)+7×(n-3)+....+(2n-5)×3+(2n-3)×2+(2n-1)×1=

(2n-1)×1++(2n-3)×2+(2n-5)×3+....+7×(n-3)+5×(n-2)+3×(n-1)+1×n=

$$\sum_{m=1}^{n}(2n-(2m-1))m=2n\sum_{m=1}^{n}m-2\sum_{m=1}^{n}m^{2}+\sum_{m=1}^{n}m$$

所以 $$\sum_{m=1}^{n}m^{2}=2n\sum_{m=1}^{n}m-2\sum_{m=1}^{n}m^{2}+\sum_{m=1}^{n}m$$
因此 $$3\sum_{m=1}^{n}m^{2}=2n\sum_{m=1}^{n}m+\sum_{m=1}^{n}m=(2n+1)\frac{n(1+n)}{2}$$

得$$\sum_{m=1}^{n}m^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$