下滑的竹竿

一枝竹竿本來緊靠牆壁豎立，地上有一隻蝸牛攀爬上竹竿並向前直上。當它爬到竹竿某處，竹竿卻下滑，而這一滑竟嚇著了蝸牛，令它呆在原處不動，直到竹竿完全落地為止。那麼，蝸牛著地前所經過的軌跡是什麼？

右圖，竹竿和地面成夾角 θ°，0 ≦ θ < 90。竹竿PQ長 L，竹竿接地點和牆角的距離SQ是 a，a = L cosθ。

M點是蝸牛在竹竿的位置，則 MQ = c L，其中 0 < c < 1 。

因為M點座標(x,y)，x=a-cL cosθ= L cosθ-cL cosθ=(1-c)L cosθ，

y=cL sinθ，所以$(\frac{x}{(1-c)L})^2$+$(\frac{y}{cL})^2$ =1，即$\frac{x^2}{(1-c)^2}$+$\frac{y^2}{c^2}$ =L²。

當c=$\frac{1}{2}$，M點軌跡是圓弧，如甲圖。
當c≠$\frac{1}{2}$，M點軌跡是橢圓弧，如乙圖或丙圖

甲
　

乙

丙

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