兩個正整數和等於倒轉數和的條件

如果(n＋1)位數A＝a_n×10ⁿ＋a_n-1×10^n-1＋....＋a₂×10²＋a₁×10＋a₀，定義A的倒轉數是a₀×10ⁿ＋a₁×10^n-1＋....＋a_n-2×10²＋a_n-1×10＋a_n。
例如：12的倒轉數是21，540的倒轉數是045，7068的倒轉數是8607。

觀察下列算式：

47＋51≠15＋74

207＋571≠175＋207

6078＋2817≠7182＋8706

發現上述每一列兩個數相加的結果與它們的倒轉數相加結果不同。

89＋32＝23＋98

396＋714＝417＋693

5406＋2371＝1732＋6045

發現上述每一列的兩個數相加的結果與它們的倒轉數的相加結果相同。(為什麼？)

定義名詞：如果兩個正整數的百位數字相同，稱兩數有「同百位數字」；兩個正整數的十位數字相同，稱兩數有「同十位數字」，依此類推各「同位數字」。

細心觀察後可以找到規律並猜想：「如果兩個正整數的所有同位數字和相同，則這兩個數相加和等於它們倒轉數的相加和」，例如：5406與2371這兩個數，其中同千位數字和是5＋2＝7，同百位數字和是4＋3＝7，同十位數字和是0＋7＝7，同個位數字和是6＋1＝7，所有同位數字和都是7，則5406+2371＝1732+6045。

證明猜想「如果兩個正整數的所有同位數字和相同，則這兩個數相加的結果等於它們倒轉數的相加和」

可以先就兩個所有同位數字和相同的三位數來討論，
假設一個三位數是100a＋10b＋c，另一個三位數是100d＋10e＋f，其中

(1)若a＋d<10，則0 ≦ b，c ≦ a＋d
(2)若a＋d=10，則1≦ b，c ≦ 9

(3)若a＋d>10，則(a+d)－9 ≦ b，c ≦ 9

而且a＋d=b＋e=c＋f。

令a＋d=b＋e=c＋f=x，則

(100a＋10b＋c)＋(100d＋10e＋f)＝

[100a＋10b＋c]＋[100(x－a)＋10(x－b)＋(x－c)]＝111x。而

[100f＋10e＋d]＋[100c＋10b＋a]＝
[100(x－c)＋10(x－b)＋(x－a)]＋[100c＋10b＋a]＝111x，所以
(a×10²＋b×10＋c)＋(100d＋10e＋f)＝[100f＋10e＋d]＋[100c＋10b＋a]，可知
猜想「如果兩個三位數的所有同位數字和都相同，則這兩個數相加和等於它們倒轉數的相加和」成立。

我們再討論猜想「如果兩個三位數相加和等於它們倒轉數的相加和，則這兩個數的所有同位數字和都相同」是否成立？

如果可以證明「若兩個三位數存在一組同位數字和不相同，則這兩個三位數的相加和不等於於它們倒轉數的相加和」成立，就相當於運用反證法證明「若兩個三位數相加和等於它們倒轉數的相加和，則這兩個數的所有同位數字和都相同」成立。

就兩個三位數來討論，假設其百位數字和等於十位數字和都是x，其中的個位數字和是y，且x≠y。
如果這兩個三位數分別是a×10²＋b×10＋c與(x－a)×10²＋(x－b)×10＋(y－c)，其倒轉數分別是
c×10²＋b×10＋a與(y－c)×10²＋(x－b)×10＋(x－a)]。
因為[a×10²＋b×10＋c]＋[(x－a)×10²＋(x－b)×10＋(y－c)]＝110x＋y，而
[c×10²＋b×10＋a]＋[(y－c)×10²＋(x－b)×10＋(x－a)]＝100y＋11x。
因為x≠y，所以(110x+y)－(100y＋11x)＝99(x－y)≠0，
因此[a×10²＋b×10＋c]＋[(x－a)×10²＋(x－b)×10＋(y－c)]≠[c×10²＋b×10＋a]＋[(y－c)×10²＋(x－b)×10＋(x－a)]，即原二個三位數相加和不等於它們倒轉數的相加和，可知「若兩個三位數存在一組同位數字和不相同，則這兩個三位數相加和不等於於它們倒轉數的相加和」成立。

由上述可知「如果兩個三位數的所有同位數字和相同，則這兩個三位數相加和等於其倒轉數的相加和，反之亦然」。

可推廣得定理：「如果兩個數的所有同位數字和相同，則這兩個數相加和等於其倒轉數的相加和，反之亦然」。

相關連結：探索兩個三位數和等於其倒轉數和的條件(用geogebra製作)