鞋匠的刀

以AB作為直徑作半圓，P點在AB上。以AP為直徑作半圓，以PB為直徑作半圓，下圖紅色區域狀如古希臘鞋匠製鞋的刀，古希臘人稱呼這個圖形叫「鞋匠的刀」。

過P點的直線EF垂直於AB並和圓相交於E點和F點。

根據畢氏定理

圖一，半圓AEB面積=半圓甲的面積+半圓乙的面積

圖二，半圓甲的面積=半圓乙的面積+半圓C的面積

圖三，半圓丙的面積=半圓丁的面積+半圓D的面積


圖一	圖二	圖三

紅色區域面積

=半圓AEB面積-半圓C的面積-半圓D的面積

=半圓AEB面積-(半圓甲的面積-半圓乙的面積)-( 半圓丙的面積-半圓丁的面積)

=(半圓AEB面積-半圓甲的面積-半圓丙的面積)+( 半圓乙的面積+半圓丁的面積)

=0+半圓乙的面積+半圓丁的面積

=半圓乙的面積+半圓丁的面積=圓G的面積

「鞋匠的刀」的面積等於以PE為直徑的圓面積，相傳是阿基米得首先提出這個問題。