聰慧阿拉伯女兒賣蘋果

聰慧的阿拉伯女兒賣蘋果

《數學天方夜譚—撒米爾的奇幻之旅》書中第17章說了一個故事:「有一位農夫經常在一位法官面前炫耀他的3位天生商業頭腦的女兒，可是這位法官既吝嗇又善忌妒。法官提出一道難題，想考倒農夫的女兒們，他將九十顆蘋果分給三個姐妹，同時要求大女兒要賣出五十顆，二女兒要賣出三十顆，三女兒要賣出十顆，而且每一個蘋果的售價一樣，最後每個人的總收入也一樣」。如果你是他們，你會如何賣蘋果呢?

因為三個女兒被要求賣出的蘋果數量是不同，卻用相同單價出售，如果一次全部賣完，他們的收入當然不會一樣。所以他們必須分成不同批次來賣，而且在相同批次的每顆蘋果有相同的售價，這樣可以滿足法官的條件，而且有機會達成「最後每個人的收入一樣」的要求。

假設在第一批次，大女兒賣出 a 個，二女兒賣出 b 個，三女兒賣出 c 個，而且出售單價都是 p元。
而且三姐妹在第二批次以單價 s元賣光剩餘的蘋果，其中s≠p，大女兒賣出 50-a 個，二女兒賣出 30-b 個，三女兒賣出 10-c 個。
如果 3個人在第一批次和第二批次的總收入是一樣的，則
ap+(50-a)s=bp+(30-b)s=cp+(10-c)s，因此
ap+(50-a)s-bp-(30-b)s=0，得(a-b)p-(a-b)s=-20s，(a-b)(p-s)=-20s。...(1)
bp+(30-b)s-cp-(10-c)s=0，得(b-c)p+(c-b)s=-20s，(b-c)(p-s)-20s。...(2)
由(1)(2)知(a-b)(p-s)=(b-c)(p-s)。
因為s≠p，所以a-b=b-c，得a+c=2b，即 a、b、c 成等差數列。...(3)

而在第二批次3人分別賣出50-a個、30-b個、10-c個，其中
(30-b)-(50-a)=-20-b+a=-20-(b-a) …(4)
(10-c)-(30-b)=-20-c+b=-20-(c-b)....(5)
由(3)可知 (4)=(5)，所以3個人在第二批次分別賣出的蘋果數量也是等差數列。

假設第一批次，大女兒賣出 a 個，二女兒賣出 a+d 個，三女兒賣出 a+2d 個，單價都是 p元。
則第二批次，大女兒賣出 50-a 個，二女兒賣出 30-(a+d) 個，三女兒賣出 10-(a+2d) 個，單價都是 s元。
因為 3人的最後總收入都相同，所以
ap+(50-a)s=(a+d)p+(30-a-d)s， (20+d)s=dp，$\frac{20+d}{d}$=$\frac{p}{s}$，因此$\large\frac{20}{d}$+1=$\large\frac{p}{s}$。
可見法官提出的難題的解答不是唯一的。
列舉兩例如下，
當 d=1，則 $\large\frac{p}{s}$=21。如果s=1，則 p=21。
如果在第一批次批，大女兒賣出 7 個，二女兒賣出 8 個，三女兒賣出 9 個，單價都是 21元。則在第二批次，大女兒賣出 43 個，二女兒賣出 22 個，三女兒賣出 1 個，單價都是1元。最後每個人的總收入都是190元。

令 d=2，則$\large\frac{p}{s}$=11。如果 s=1，則 p=11。
如果在第一批次批，大女兒賣出 5 個，二女兒賣出 7 個，三女兒賣出 9 個，單價都是11元。則在第二批次，大女兒賣出 45 個，二女兒賣出 23 個，三女兒賣出 1 個，單價都是 1元。最後每個人的總收入都是100元。