如何向國中生談共角定理

共角定理：如果兩個三角形有一角相等，則三角形的面積比等於夾此角兩邊的乘積比。

如果∠B =∠E，則△ABC面積：△DEF面積=BA

BC：ED

國中數學沒有三角函數，共角定理在高中數學的三角函數應用。那麼該如何與國中生談共角定理呢？

國中9年級已經學過全等三角與三角形相似性質，應該可以試著了解共角定理。

如下圖，在△DEF的DE上取 EG = BA，再分別過A、G點作AH'⊥BC、GH⊥EF。

由AAS全等性質可知△ABH'△GEH，得 AH' = GH。
作△DEF的高DT，因為GH / / DT，所以 GH：DT = EG：ED ，得 DT = $\large\frac{\overline{GH}\times\overline{ED}}{\overline{EG}}$
令AH'=GH=h，因為△ABC面積=$\frac{1}{2}$h × BC，且△DEF面積=$\frac{1}{2}$× DT × EF =$\large\frac{\overline{GH}\times\overline{ED}\times\overline{EF}}{2\overline{EG}}$ =$\large\frac{h\times\overline{ED}\times\overline{EF}}{2\overline{AB}}$
所以△ABC面積：△DEF面積= BC： $\large\frac{\overline{ED}\times\overline{EF}}{\overline{AB}}$ = AB × BC：ED × EF。