歐幾里德何時人

歐幾里德出生於何時

歐幾里德生於哪個時代呢？史學家發現西元前336年流傳一段話︰「那年的某一天，歐幾里德造了一個整係數多項式，並告訴旁人說︰「我現在的年齡剛好是這個多項式的解」」。有人將7和一個比7大的整數代入多項式，結果多項式值分別是77和85。但是歐幾里德卻回答：「我有這麼年輕嗎？」
(以上題目出自台師大許志農教授所著《數學解題與思維》一書)

假設f(x)是整係數多項式，且f(x)÷(x-b)=g(x)...r，其中b是整數。則
f(x)=g(x)(x-b)+r，因此r=f(b)，所以f(x)=g(x)(x-b)+f(b)，而且由綜合除法可知g(x)是整數多項式。
因為f(x)=g(x)(x-b)+f(b)，所以f(a)=g(a)(a-b)+f(b)，其中a是整數。
g(a)=$\large\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$，因為g(a)是整數，所以$\large\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$是整數，也就是說(a-b)是f(a)-f(b)的因數。
假設歐幾里得p歲且c是大於7的整數，則f(p)=0，f(7)=77，f(c)=85。
因為(7-p)是f(7)-f(p)的因數，(c-7)是f(c)-f(7)的因數，(c-p)是f(c)-f(p)的因數，所以
(7-p)是77的因數，(c-7)是8的因數且(c-p)是85的因數。
因為有人將7和c代入多項式時，歐幾里德回答：「我有這麼年輕嗎？」，所以p>c>7。
因為p值可能是8、14、18、84，且c值可能是8、9、11、15。
因為(c-p)是85的因數，且p>c>7，所以c=9且p=14，因此歐幾里德14歲。
這段話流傳於西元前336年，藉以推測他大約出生於西元前350年。