歐幾里德出生於何時

歐幾里德生於哪個時代呢?史學家發現西元前336年流傳一段話︰「那年的某一天,歐幾里德造了一個整係數多項式,並告訴旁人說︰「我現在的年齡剛好是這個多項式的解」 」。有人將7和一個比7大的整數代入多項式,結果多項式值分別是77和85。但是歐幾里德卻回答:「我有這麼年輕嗎?」
(以上題目出自台師大許志農教授所著《數學解題與思維》一書)

假設f(x)是整係數多項式,且f(x)÷(x-b)=g(x)...r,其中b是整數。則
f(x)=g(x)(x-b)+r,因此r=f(b),所以f(x)=g(x)(x-b)+f(b),而且由綜合除法可知g(x)是整數多項式。
因為f(x)=g(x)(x-b)+f(b),所以f(a)=g(a)(a-b)+f(b),其中a是整數。
g(a)=
$\large\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$,因為g(a)是整數,所以$\large\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$是整數,也就是說(a-b)是f(a)-f(b)的因數。
假設歐幾里得p歲且c是大於7的整數,則f(p)=0,f(7)=77,f(c)=85。
因為(7-p)是f(7)-f(p)的因數,(c-7)是f(c)-f(7)的因數,(c-p)是f(c)-f(p)的因數,所以
(7-p)是77的因數,(c-7)是8的因數且(c-p)是85的因數。
因為有人將7和c代入多項式時,歐幾里德回答:「我有這麼年輕嗎?」,所以p>c>7
因為
p值可能是8、14、18、84,且c值可能是8、9、11、15
因為(c-p)是85的因數,且
p>c>7,所以c=9且p=14,因此歐幾里德14歲
這段話流傳於西元前336年,藉以推測他大約出生於西元前350年。


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