比較三種平均數
 

a和b兩數,其算術平均數(A.M)、幾何平均數(G.M)、調和平均數(H.M)分別如下:

A.M=$\frac{a+b}{2}$G.M=$\sqrt{ab}$H.M=$\frac{2ab}{a+b}$

如果a和b都是正數,則

( $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ )≧ 0

a-2$\sqrt{ab}$+b ≧  0

因此$\frac{a+b}{2}$ ≧ $\sqrt{ab}$即 A.M ≧ G.M。

 

( $\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}$ )≧ 0,

$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$+$\frac{1}{b}$ ≧ 0,

$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$ ≧ $\frac{2}{\sqrt{ab}}$,

因此$\sqrt{ab}$ ≧ $\large\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\frac{2ab}{a+b}$,即 G.M ≧ H.M。

所以算術平均數(A.M) 幾何平均數(G.M) 調和平均數(H.M)。

 


圓O直徑AB,C點在圓周,CDAB,D點是垂足DEOC,E點是垂足。

假設AD=a,DB=b,則 OC=$\frac{a+b}{2}$。

由母子相似性質知CD 2=AD ×DB = ab,所以CD=$\sqrt{ab}$

由母子相似性質知CD 2=CE ×CO ,即ab=CE ×$\frac{a+b}{2}$所以CE=$\frac{2ab}{a+b}$

由附圖知OC > CD > CE,所以$\frac{a+b}{2}$ > $\sqrt{ab}$ > $\frac{2ab}{a+b}$

 


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