昌爸工作坊/由正方形作等邊八邊形

由正方形作等邊八邊形

正方形ABCD四個邊上的中點分別是E、F、G、H點，連結頂點與中點就可以得到等邊八邊形MNOPQRST，如右圖。(為什麼?)

長方形BCHF的對角線BH=CF且互相平分，因此BS=CS。所以△SBC是等腰三角形，且∠SBC=∠SCB，當然∠VBC=∠WCB。...(1)
因為△ABG△DCG (SAS)，所以∠AGB=∠DGC...(2)。

由於(1)(2)且BG=CG，所以△BGV△CGW (ASA)，因此BV=CW，∠BVG=∠CWG...(3)。

因為BS=CS，BV=CW，所以BS-BV=CS-CW，SV=SW...(4)。

在△RVS與△TWS中，由於(3)，且對頂角相等，因此∠RVS=∠TWS...(5)。因為(4)(5)且∠RSV=∠TSW，可證明△RVS△TWS (ASA)，所以RS=TS...(7)。

由於CE=CF，且CM=CE=CF=CS，因此△CSM是等腰三角形，所以∠CSM=∠CMS...(8)。因為△BSC△DMC (SSS)，可知∠BSC=∠DMC，因此∠TSW=∠TMX...(9)。由(8)(9)知∠CSM-∠TSW=∠CMS-∠TMx，即∠MST=∠SMT，△MST是等腰三角形，且TS=TM...(10)。

根據(7)(10)的證明可類推得知任意兩鄰邊都相等，即八邊形MNOPQRST的八個邊都相等。這裡要提醒大家的是，等邊八邊形不一定是正八邊形，除非內角都相等，而我們目前討論的等邊八邊形並不是正八邊形。