666...6*666...7

666...6×666...7

6 × 7 = 42

66 × 67 = 4422

666 × 667 = 444222

6666 × 6667 = 44442222

觀察上述計算式發現被乘數的每一位的數字都是6。乘數除了個位數是7，其他每位數字都是6。乘積的前半部數字都是4，而乘積的後半部數字都是2。以6666 × 6667 = 44442222為例，被乘數6666的4位數字都是6，被乘數6667的前3位數字都是6，而且個位數字是7。乘積44442222的前半部4位數字都是4，而的後半部4位數字都是2。

自然會猜想「666....6 × 666...7 = 444.......222，其中，666....6 是N位數且每位數字都是6；666....7 是N位數且前N-1位數每位數字都是6，個位數是7，兩數的乘積444.......222是2N位數，前N位數字都是4，後N位數字都是2。」

證明：

假設 N位數 $\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$；N位數 $\underbrace{666\cdots 6}_{ (N-1) 個 6 }7$。

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$ × $\underbrace{666\cdots 6}_{ (N-1) 個 6 }7$ =

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$ ×($1\underbrace{000\cdots 0}_{ N 個 0 }$ - $\underbrace{333\cdots 3}_{ N 個 3 } $) =

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - $\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$ × $\underbrace{333\cdots 3}_{ N 個 3 } $ =

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - 6 × 3( $\underbrace{111\cdots1}_{ N 個 1 }$ × $\underbrace{111\cdots1}_{ N 個 1 }$) =

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - 2 × 9( $\underbrace{111\cdots1}_{ N 個 1 }$ × $\underbrace{111\cdots1}_{ N 個 1 }$) =

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - $\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$ × $\underbrace{999\cdots9}_{ N 個 9 }$=

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - $\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$ × ($1\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - 1 ) =

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ - $\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ + $\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$ =

$\underbrace{444\cdots4}_{ N 個 4 }$$\underbrace{000\cdots0}_{ N 個 0 }$ + $\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$ =

$\underbrace{444\cdots4}_{ N 個 4 }$$\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$

所以猜想是成立的，即

$\underbrace{666\cdots6}_{ N 個 6 }$ × $\underbrace{666\cdots 6}_{ (N-1) 個 6 }7$ = $\underbrace{444\cdots4}_{ N 個 4 }$$\underbrace{222\cdots2}_{ N 個 2 }$