666...6*666...7

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3...33和6..67的平方和與立方和

33² + 67² = 5578

333² + 667² = 555778

3333² + 6667² = 55557778

........

猜想「n ≧ 2， $\underbrace{33\cdots3^2}_{ n 個 3 }$ + $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^2$ = $\underbrace{55\cdots5}_{ n 個 5 }$ $\underbrace{77\cdots7}_{ (n-1) 個 7 }8$ 」

證明：

n ≧ 2

$\underbrace{33\cdots3^2}_{ n 個 3 }$ = $[\frac{1}{3}(10^n-1)]^2$

$\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^2$ = $[\frac{1}{3}(2\times10^n+1)]^2$

令 x= 10ⁿ，則

$\underbrace{33\cdots3^2}_{ n 個 3 }$ + $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^2$ =

$[\frac{1}{3}(x-1)]^2$ + $[\frac{1}{3}(2x+1)]^2$ =

$\frac{1}{9}(x^2-2x+1+4x^2+4x+1)$ =

$\frac{1}{9}(5x^2+2x+2)$ ，因此

$\underbrace{33\cdots3^2}_{ n 個 3 }$ $\frac{1}{9}(5\times10^{2n}+2\times10^n+2)$ = $\underbrace{55\cdots5}_{ 2n 個 5 }$ + $\frac{5}{9}$ + $\underbrace{22\cdots2}_{ n 個 2 }$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ =

$\underbrace{55\cdots5}_{ n 個 5 }\underbrace{77\cdots7}_{ n 個 7 }$ +1 = $\underbrace{55\cdots5}_{ n 個 5 }\underbrace{77\cdots7}_{ (n-1) 個 7 }8$

猜想成立，所以

「n ≧ 2， $\underbrace{33\cdots3^2}_{ n 個 3 }$ + $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^2$ = $\underbrace{55\cdots5}_{ n 個 5 }$ $\underbrace{77\cdots7}_{ (n-1) 個 7 }8$ 」。

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33³ + 67³ = 336700

333³ + 667³ = 333667000

3333³ + 6667³= 333366670000

........

猜想「n ≧ 2， $\underbrace{33\cdots3^3}_{ n 個 3 }$ + $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^3$ = $\underbrace{33\cdots3}_{ n 個 3 }$ $\underbrace{66\cdots6}_{ (n-1) 個 6 }7$ $\underbrace{00\cdots0}_{ n個 0}$ 」

證明：

n ≧ 2

$\underbrace{33\cdots3^3}_{ n 個 3 }$ = $[\frac{1}{3}(10^n-1)]^3$

$\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^3$ = $[\frac{1}{3}(2\times10^n+1)]^3$

令 x= 10ⁿ，則

$\underbrace{33\cdots3^3}_{ n 個 3 }$ + $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^3$ = $[\frac{1}{3}(x-1)]^3+[\frac{1}{3}(2x+1)]^3$ =

$\frac{1}{27}(x^3-3x^2+3x-1+8x^3+12x^2+6x+1)$ = $\frac{1}{27}(9x^3+9x^2+9x)$ = $\frac{1}{3}x(x^2+x+1)$ ，因此

$\frac{1}{3}[10^n(10^{2n}+10^n+1)]$ =

( $\underbrace{33\cdots3}_{ 2n 個 3 }$ + $\frac{1}{3}$ + $\underbrace{33\cdots 3}_{ n個 3 }$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ) × 10ⁿ=

( $\underbrace{33\cdots3}_{ 2n個 3 }$ + $\underbrace{33\cdots 3}_{ n個 3 }$ +1) × 10ⁿ=

$\underbrace{33\cdots3}_{ n個 3 }$ $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1)個 6 }7$ $\underbrace{00\cdots 0}_{ n個 0}$

猜想成立，所以

「 n ≧ 2， $\underbrace{33\cdots3^3}_{ n 個 3 }$ + $\underbrace{66\cdots 6}_{ (n-1) 個 6 }7^3$ = $\underbrace{33\cdots3}_{ n 個 3 }$ $\underbrace{66\cdots6}_{ (n-1) 個 6 }7$ $\underbrace{00\cdots0}_{ n個 0}$ 」。