333×334

3×4=12，33×34=1122，333×334=111222，3333×3334=11112222，左列存在規律，是否可以因此推論

$$\small\underbrace{3333\dots33}_{n個3}\times\underbrace{3333\dots34}_{(n-1)個3} =\small\underbrace{1111\dots11}_{n個1}\underbrace{2222\dots22}_{n個2}$$

顯然，當n是自然數，則 $\large\frac{10^n-1}{9}$ = $\small\underbrace{1111\dots11}_{n個1}$。

$\small\underbrace{3333\dots33}_{n個3}$ = $\large\frac{\overbrace{9999\dots99}^{n個9}}{3}$ = $\large\frac{10^n-1}{3}$

$\small\underbrace{3333\dots34}_{(n-1)個3}$ = $\large\frac{\overbrace{9999\dots99}^{n個9}}{3}$+1 = $\large\frac{10^n+2}{3}$

$\small\underbrace{3333\dots33}_{n個3}$ × $\small\underbrace{3333\dots34}_{(n-1)個3}$ = $\large\frac{10^n-1}{3}$ × $\large\frac{10^n+2}{3}$= $\large\frac{10^{2n}+10^n-2}{9}$ = $\large\frac{(10^{2n}-1)+(10^n-1)}{9}$=

$\large\frac{(10^{2n}-1)}{9}+\frac{(10^n-1)}{9}$ =$\small\underbrace{1111\dots11}_{2n個1}$+$\small\underbrace{1111\dots11}_{n個1}$ = $\small\underbrace{1111\dots11}_{n個1}\underbrace{2222\dots22}_{n個2}$

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