3個2如何組成所有正整數

使用3個2並配合幾次開方根，取對數，最後再取相反數，就可以表示出所要求的正整數。
例如，$-\log_2~(\log_2~\sqrt{2})=1$，$-\log_2~(\log_2~\sqrt{\sqrt{2}})=2$，$-\log_2~(\log_2~\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}})=3$。
個中道理如下：
$\large{\frac{1}{2}=\frac{2^0}{2^1}}=2^{(0-1)}=2^{-1}$
因為，$2^{\frac{1}{2}}\times2^{\frac{1}{2}}=2^{({\frac{1}{2}+\frac{1}{2}})}=2^{1}=2$
所以，$2的正平方根是\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}$
因此，$\sqrt{2}的正平方根是\sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}$，
$\sqrt{\sqrt{2}}的正平方根是\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}$。
若a^b=c，則$\log_a~c=b，因此\log_a~{a^d}=d$
$\normalsize{-\log_2~(\log_2~\sqrt{2})=-\log_2~(\log_2~{2^{\frac{1}{2}}})}=-\log_2~\frac{1}{2}=-\log_2~2^{-1}=-(-1)=1$
$\normalsize{-\log_2~(\log_2~\sqrt{\sqrt{2}})=-\log_2~(\log_2~{2^{\frac{1}{4}}})}=-\log_2~\frac{1}{4}=-\log_2~2^{-2}=-(-2)=2$
$\normalsize{-\log_2~(\log_2~\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}})=-\log_2~(\log_2~{2^{\frac{1}{8}}})}=-\log_2~\frac{1}{8}=-\log_2~2^{-3}=-(-3)=3$

由上述可知，算式$\normalsize{-\log_2~(\log_2~\sqrt{...\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}})$裡，若有n個√，算式結果就是 n。