探討 16³+50³+33³=165033

17×9=153，1667×99=165033，166667×999=166500333

1³+5³+3³=153

16³+50³+33³=165033

166³+500³+333³=166500333

令 n =10^k+1，k=0，1，2，3，... 則

a=$1\underbrace{666\cdots6}_{ k個6 }=\frac{n}{6}-\frac{2}{3}$

b=$5\underbrace{000\cdots0}_{ k個0 }=\frac{n}{2}$

c=$3\underbrace{333\cdots3}_{ k個3}=\frac{n}{3}-\frac{1}{3}$

因此 a³+b³+c³=$\large\frac{(n^3-n^2+2n-2)}{6}$=$\large\frac{(n^2+2)(n-1)}{6}$

因為 a×n²+b×n+c=

$\large(\frac{n}{6}-\frac{2}{3})$n²+$\large\frac{n}{2}$n+$\large(\frac{n}{3}-\frac{1}{3})$=$\large\frac{(n^3-n^2+2n-2)}{6}$=$\large\frac{(n^2+2)(n-1)}{6}$

所以 a³+b³+c³=a×n²+b×n+c

參考資料：從一個以16, 50, 33所寫成的等式談起

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