3N⁵+5N³+7N是15的倍數

「N是自然數，則3N⁵+5N³+7N是15的倍數。」

「三個連續自然數的乘積(N-1)N(N+1)是3的倍數。」....(1)

假設N=3k，則(N-1)N(N+1)=(N²-1)N=(9k²-1)(3k)=是3的倍數。

假設N=3k+1，則(N-1)N(N+1)=(N²-1)N=(9k²+6k)(3k+1)=3(3k²+2k)(3k+1)是3的倍數。

假設N=3k+2，則(N-1)N(N+1)=(N²-1)N=(9k²+12k+3)(3k+2)=3(3k²+4k+1)(3k+2)是3的倍數。

所以三個連續自然數的乘積(N-1)N(N+1)是3的倍數。

「N是自然數，則N(N²+1)(N+1)(N-1)是5的倍數。」....(2)

假設N=5k，則N(N²+1)(N+1)(N-1)=(5k)(N²+1)(N+1)(N-1)是5的倍數。

假設N=5k+1，則N(N²+1)(N+1)(N-1)=N(N²+1)(N+1)(5k)是5的倍數。

假設N=5k+2，則N(N²+1)(N+1)(N-1)=N[(5k+2)²+1](N+1)(N-1)=N(25k²+20k+5)(N+1)(N-1)是5的倍數。

假設N=5k-1，則N(N²+1)(N+1)(N-1)=N(N²+1)(5k)(N-1)是5的倍數。

假設N=5k-2，則N(N²+1)(N+1)(N-1)=N[(5k-2)²+1](N+1)(N-1)=N(25k²-20k+5)(N+1)(N-1)是5的倍數。

所以N是自然數，則N(N²+1)(N+1)(N-1)是5的倍數。

由上述(1)(2)可知

3N⁵+5N³+7N=3(N⁵-N)+5(N³-N)+15N=3N(N⁴-1)+5N(N²-1)+15N=3N(N²+1)(N+1)(N-1)+5N(N+1)(N-1)+15N是15的倍數。

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