1331立方數

1331=11³，1331是立方數。如果在每位數字之間插入1個0，則1030301是否是立方數?

x³+3x²+3x+1=(x³+1)+(3x²+3x)=(x+1)(x²-x+1)+3x(x+1)=(x+1)(x²-x+1+3x)=(x+1)(x+1)²=(x+1)³

因為1030301=10⁶+3×10⁴+3×10²+1=(10²)³+3×(10²)²×1+3×(10²)×1²+1³=(10²+1)³=101³

所以1030301是立方數。

如果在1331每位數字之間插入2個0，則1003003001是否是立方數?

因為1003003001=10⁹+3×10⁶+3×10⁴+1=(10³)³+3×(10³)²×1+3×(10³)×1²+1³=(10³+1)³=1001³

所以1003003001是立方數。

如果在1331每位數字之間插入n個0，n是自然數，則$1\underbrace{0\cdots0}_{ n 個 0 }$3$\underbrace{0\cdots0}_{ n個 0 }$ 3$\underbrace{0\cdots0}_{ n個 0 }$ 1是否是立方數?

因為$1\underbrace{0\cdots0}_{ n 個 0 }$3$\underbrace{0\cdots0}_{ n個 0 }$ 3$\underbrace{0\cdots0}_{ n個 0 }$ 1

=10³ⁿ⁺³+3×10²ⁿ⁺²+3×10ⁿ⁺¹+1

=(10ⁿ⁺¹)³+3×(10ⁿ⁺¹)²×1+3×(10ⁿ⁺¹)×1²+1

=(10ⁿ⁺¹+1)³

所以$1\underbrace{0\cdots0}_{ n 個 0 }$3$\underbrace{0\cdots0}_{ n個 0 }$ 3$\underbrace{0\cdots0}_{ n個 0 }$ 1是立方數。