畢達哥拉斯三元數

如果正整數 x、y、z，z>x 且 z>y，滿足z²=x²+y²，就稱 x、y、z 是一組畢達哥拉斯三元數。

那麼要如何找到一組畢達哥拉斯三元數呢?

一組畢達哥拉斯三元數是 x²+y² = z² 的正整數解，可以只就 x、y、z 兩兩互質的情狀來討論。顯然，x 與 y不會同時是偶數，那麼，x 與 y 可能同時是奇數嗎?

假設 x=2a+1，y=2b+1，即 x 與 y 都是奇數。已知奇數的平方是奇數，而且奇數+奇數=偶數，所以 z² 是偶數，因此 z 是偶數。
已知偶數的平方一定是4的倍數，但是 x²+y²=(2a+1)²+(2b+1)²=4(a²+b²+a+b)+2，x²+y²不是4的倍數，顯然矛盾，所以 x 與 y 不可能同時是奇數。

綜合上述，  x 與 y 不可能都是奇數也不可能都是偶數，即 x 和 y 其中有一個是奇數，另一個是偶數。可以令 x 是奇數且 y 是偶數，則 z 是奇數。

因為「x、z互質且 x 是奇數，z 是奇數，因此 z+x 與 z-x都是偶數，而且最大公因數是2」。( 為什麼? )

因為 z+x 與 z-x 的最大公因數一定是 (z+x)+(z-x) 與 (z+x)-(z-x) 的公因數，即 2z 與 2x 的公因數。 因為 x 與 z互質，所以 2z 與 2x 的正公因數只有1和2，即 z+x與 z-x的最大公因數可能 1或 2。
已知 z+x 與 z-x 都是偶數，所以 z+x 與 z-x 的最大公因數是 2，因此
令 z+x=2m²...(1)，z-x=2n²...(2)，當中 m 和 n 互質。